以下の連立方程式を解く問題です。 $ \begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \cos x + \cos y = \sqrt{3} \end{cases} $ ただし、$0 \le x < 2\pi$、$0 \le y < \pi$とします。

1. 問題の内容

以下の連立方程式を解く問題です。

$$

\begin{cases}

\sin x + \sin y = 1 \\

\cos x + \cos y = \sqrt{3}

\end{cases}

$$

ただし、$0 \le x < 2\pi$、$0 \le y < \pi$とします。

2. 解き方の手順

和積の公式を利用します。

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

与えられた連立方程式に代入すると、

$$

\begin{cases}

2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} = 1 \\

2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}

\end{cases}

$$

両辺を割ると、

$\tan\frac{x+y}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

よって、$\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{6}$ より、$x+y = \frac{\pi}{3}$。

これを最初の式に代入すると、

$\sin x + \sin (\frac{\pi}{3} - x) = 1$

$\sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cos x - \cos \frac{\pi}{3} \sin x = 1$

$\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1$

$\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 1$

$\sin (x + \frac{\pi}{3}) = 1$

よって、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{6}$。

$y = \frac{\pi}{3} - x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$。

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{6}, y = \frac{\pi}{6}$