2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が、異なる2つの正の解を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が、異なる2つの正の解を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの正の解を持つための条件は、以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

(2) 解の和 $> 0$

(3) 解の積 $> 0$

与えられた2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ において、

$a = 1$, $b = -2(m-2)$, $c = -m + 14$ です。

(1) 判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac = [-2(m-2)]^2 - 4(1)(-m+14) = 4(m^2 - 4m + 4) + 4m - 56 = 4m^2 - 16m + 16 + 4m - 56 = 4m^2 - 12m - 40$

$D > 0$ より、

$4m^2 - 12m - 40 > 0$

$m^2 - 3m - 10 > 0$

$(m-5)(m+2) > 0$

よって、$m < -2$ または $m > 5$

(2) 解の和は、$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = - \frac{-2(m-2)}{1} = 2(m-2) = 2m - 4$

解の和 $> 0$ より、

$2m - 4 > 0$

$2m > 4$

$m > 2$

(3) 解の積は、$\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-m+14}{1} = -m+14$

解の積 $> 0$ より、

$-m + 14 > 0$

$-m > -14$

$m < 14$

(1), (2), (3) の条件をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

(1) $m < -2$ または $m > 5$

(2) $m > 2$

(3) $m < 14$

$m > 5$ かつ $m < 14$ より、 $5 < m < 14$

3. 最終的な答え

$5 < m < 14$