$2^{10} < (\frac{5}{4})^n < 2^{20}$ を満たす自然数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$0.301 < \log_{10}2 < 0.3011$ が与えられています。

1. 問題の内容

$2^{10} < (\frac{5}{4})^n < 2^{20}$ を満たす自然数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$0.301 < \log_{10}2 < 0.3011$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の各辺の常用対数を取ります。

$$\log_{10}(2^{10}) < \log_{10}\left((\frac{5}{4})^n\right) < \log_{10}(2^{20})$$

対数の性質を用いて変形します。

$$10 \log_{10}2 < n \log_{10}\left(\frac{5}{4}\right) < 20 \log_{10}2$$

ここで、$\log_{10}\frac{5}{4} = \log_{10}5 - \log_{10}4 = \log_{10}\frac{10}{2} - \log_{10}2^2 = \log_{10}10 - \log_{10}2 - 2\log_{10}2 = 1 - 3\log_{10}2$ であることに注意します。

不等式は次のようになります。

$$10 \log_{10}2 < n(1 - 3\log_{10}2) < 20 \log_{10}2$$

与えられた条件 $0.301 < \log_{10}2 < 0.3011$ を用いて、各辺の値を評価します。

$10 \log_{10}2$ の範囲は $3.01 < 10 \log_{10}2 < 3.011$ となります。

$20 \log_{10}2$ の範囲は $6.02 < 20 \log_{10}2 < 6.022$ となります。

$1 - 3\log_{10}2$ の範囲は $1 - 3(0.3011) < 1 - 3\log_{10}2 < 1 - 3(0.301)$ となり、$1 - 0.9033 < 1 - 3\log_{10}2 < 1 - 0.903$ より、$0.0967 < 1 - 3\log_{10}2 < 0.097$ となります。

不等式を $1-3\log_{10}2$ で割ります。

$$\frac{10 \log_{10}2}{1 - 3\log_{10}2} < n < \frac{20 \log_{10}2}{1 - 3\log_{10}2}$$

それぞれの範囲の上限と下限を用いて $n$ の範囲を計算します。

$$\frac{3.01}{0.097} < n < \frac{6.022}{0.0967}$$

$$30.9 < n < 62.27$$

したがって、$n$ は31から62までの自然数です。

$n$ の個数は $62 - 31 + 1 = 32$ となります。

3. 最終的な答え

32個