与えられた6つの問題に答えなさい。

1. 問題の内容

与えられた6つの問題に答えなさい。

2. 解き方の手順

(1) $(3x-1)(9x^2+3x+1)$ を展開します。

これは $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$ の公式を利用します。$a=3x$, $b=1$ なので、

$(3x-1)(9x^2+3x+1) = (3x)^3 - 1^3 = 27x^3 - 1$

(2) $\frac{x-1}{1+\frac{1}{x-2}}$ を簡単にします。

まず分母を計算します。

$1+\frac{1}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} + \frac{1}{x-2} = \frac{x-1}{x-2}$

次に全体の式を計算します。

$\frac{x-1}{1+\frac{1}{x-2}} = \frac{x-1}{\frac{x-1}{x-2}} = (x-1) \cdot \frac{x-2}{x-1} = x-2$

(3) 2次関数 $y=2x^2-x+1$ の最小値を求めます。

平方完成します。

$y=2(x^2 - \frac{1}{2}x)+1 = 2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}) - 2 \cdot \frac{1}{16} + 1 = 2(x-\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} + 1 = 2(x-\frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8}$

最小値は $x=\frac{1}{4}$ のとき $y=\frac{7}{8}$

(4) $i$ を虚数単位とするとき、$\frac{(2+i)^2}{i}$ を $a+bi$ の形で表します。

まず分子を計算します。

$(2+i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$

次に式全体を計算します。

$\frac{3+4i}{i} = \frac{(3+4i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i-4i^2}{-i^2} = \frac{-3i+4}{1} = 4-3i$

(5) $AB=4$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=\sqrt{3}$ である三角形ABCにおいて、$\cos \angle BAC$ と三角形ABCの面積を求めます。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos \angle BAC$

$(\sqrt{7})^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos \angle BAC$

$7 = 16 + 3 - 8\sqrt{3} \cos \angle BAC$

$8\sqrt{3} \cos \angle BAC = 12$

$\cos \angle BAC = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\angle BAC = 30^{\circ}$

面積 $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$

(6) $a, a, b, b, c, c$ の6文字を1列に並べるとき、並べ方は全部で何通りあり、このうち、$a, a$ が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。

全部の並べ方: $\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90$通り

$a, a$ が隣り合う並べ方: $aa$ を一つの文字とみなして、$aa, b, b, c, c$ を並べる並べ方は $\frac{5!}{2!2!} = \frac{120}{4} = 30$通り

したがって、$a, a$ が隣り合わない並べ方は $90 - 30 = 60$通り

3. 最終的な答え

(1) $27x^3 - 1$

(2) $x-2$

(3) $\frac{7}{8}$

(4) $4-3i$

(5) $\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{3}}{2}$, 面積: $\sqrt{3}$

(6) 全部の並べ方: 90通り, $a, a$ が隣り合わない並べ方: 60通り