奇数の数列 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, \dots$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求めよ。 (2) 第 $n$ 群の総和を求めよ。 (3) $301$ は第何群の何番目に並ぶ数か。

1. 問題の内容

奇数の数列 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, \dots$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求めよ。

(2) 第 $n$ 群の総和を求めよ。

(3) $301$ は第何群の何番目に並ぶ数か。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。

まず、$n$ 群の最初の項は、奇数の数列の何番目か考える。第 $n-1$ 群までの項数は $1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{1}{2}n(n-1)$ であるから、第 $n$ 群の最初の項は、奇数の数列の $\frac{1}{2}n(n-1) + 1$ 番目である。

奇数の数列の一般項は $2k-1$ であるから、$\frac{1}{2}n(n-1) + 1$ 番目の奇数は $2 \left( \frac{1}{2}n(n-1) + 1 \right) - 1 = n(n-1) + 2 - 1 = n^2 - n + 1$ である。

(2) 第 $n$ 群の総和を求める。

第 $n$ 群は $n$ 個の項からなり、最初の項は $n^2 - n + 1$ である。奇数の数列なので、公差は $2$ である。したがって、第 $n$ 群の総和は、等差数列の和の公式を用いて、

$$S_n = \frac{n}{2} [2(n^2 - n + 1) + (n-1)2] = \frac{n}{2} (2n^2 - 2n + 2 + 2n - 2) = \frac{n}{2} (2n^2) = n^3$$

である。

(3) $301$ が第何群の何番目に並ぶ数か。

まず、$301$ が奇数の数列の何番目か求める。

$2k - 1 = 301$ より、$2k = 302$, $k = 151$。したがって、$301$ は奇数の数列の $151$ 番目の数である。

次に、$301$ が第何群に属するかを考える。第 $n$ 群までの項数の合計は $\frac{n(n+1)}{2}$ であるから、$\frac{n(n+1)}{2} \ge 151$ を満たす最小の整数 $n$ を求める。

$n(n+1) \ge 302$ を満たす最小の整数 $n$ は $n=17$ である。

$\frac{16(16+1)}{2} = \frac{16 \times 17}{2} = 8 \times 17 = 136$

$\frac{17(17+1)}{2} = \frac{17 \times 18}{2} = 17 \times 9 = 153$

したがって、$301$ は第 $17$ 群に属する。

第 $16$ 群までの項数は $136$ であるから、$301$ は第 $17$ 群の $151 - 136 = 15$ 番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) $n^2 - n + 1$

(2) $n^3$

(3) 第17群の15番目