実数 $k$ を定数とし、実数 $x$ についての2つの条件 $p: |x-2| < 1$ と $q: k-3 \le x \le k$ を考える。 問1では、条件 $p$ を満たすような $x$ の値の範囲を求める。 問2では、命題「$p \implies q$」が真となるような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $k$ を定数とし、実数 $x$ についての2つの条件 $p: |x-2| < 1$ と $q: k-3 \le x \le k$ を考える。

問1では、条件 $p$ を満たすような $x$ の値の範囲を求める。

問2では、命題「$p \implies q$」が真となるような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

問1：

条件 $p: |x-2| < 1$ を解く。絶対値の定義より、

$-1 < x - 2 < 1$

各辺に2を加えると、

$1 < x < 3$

よって、条件 $p$ を満たす $x$ の範囲は $1 < x < 3$ である。

問2：

命題「$p \implies q$」が真であるためには、条件 $p$ を満たす全ての $x$ が条件 $q$ も満たさなければならない。つまり、$p$ の範囲が $q$ の範囲に含まれる必要がある。

$p$ の範囲は $1 < x < 3$ であり、$q$ の範囲は $k-3 \le x \le k$ である。

$k-3 \le x \le k$ が $1 < x < 3$ を含むためには、

$k-3 \le 1$ かつ $k \ge 3$ である必要がある。

$k - 3 \le 1$ より、 $k \le 4$。

したがって、$3 \le k \le 4$ となる。

3. 最終的な答え

問1：d

問2：e