$a$は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 4x$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

## 問題44

1. 問題の内容

$a$は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 4x$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = -x^2 + 4x$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -(x-2)^2 + 4$

この関数は、上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2, 4)$です。

定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考える必要があります。

(i) $0 < a \le 2$ のとき、頂点が定義域に含まれるので、最大値は頂点の$y$座標である4となります。

(ii) $a > 2$ のとき、頂点が定義域に含まれるので、最大値は頂点の$y$座標である4となります。

したがって、$a$の値に関わらず、最大値は常に4となります。

3. 最終的な答え

最大値は4。

## 問題45

1. 問題の内容

$a$は定数とする。関数 $y = x^2 - 4ax$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = x^2 - 4ax$ を平方完成します。

$y = x^2 - 4ax = (x^2 - 4ax + 4a^2) - 4a^2 = (x - 2a)^2 - 4a^2$

この関数は、下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2a, -4a^2)$ です。

定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値を考える必要があります。

(i) $2a < 0$、つまり $a < 0$ のとき、定義域内で関数は単調増加なので、$x=0$ で最小値をとります。

$y(0) = 0^2 - 4a(0) = 0$

(ii) $0 \le 2a \le 2$、つまり $0 \le a \le 1$ のとき、頂点が定義域に含まれるので、$x=2a$ で最小値をとります。

$y(2a) = (2a)^2 - 4a(2a) = 4a^2 - 8a^2 = -4a^2$

(iii) $2a > 2$、つまり $a > 1$ のとき、定義域内で関数は単調減少なので、$x=2$ で最小値をとります。

$y(2) = 2^2 - 4a(2) = 4 - 8a$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は0

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $-4a^2$

$a > 1$ のとき、最小値は $4 - 8a$