関数 $y = \log_2(x+7) + \log_2(1-x)$ の最大値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2(x+7) + \log_2(1-x)$ の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件から $x+7>0$ かつ $1-x>0$ である必要があります。

したがって、$-7 < x < 1$ が成り立ちます。

次に、対数の性質を利用して式を簡単にします。対数の和は積に変換できます。

$y = \log_2(x+7) + \log_2(1-x) = \log_2((x+7)(1-x))$

$f(x) = (x+7)(1-x) = -x^2 - 6x + 7$ とおくと、これは上に凸な二次関数です。$f(x)$ が最大となるとき、$y$ も最大となります。

$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 + 6x) + 7 = -(x^2 + 6x + 9 - 9) + 7 = -(x+3)^2 + 9 + 7 = -(x+3)^2 + 16$

$f(x)$ は $x = -3$ のとき最大値 $16$ をとります。また、$-7 < x < 1$ を満たしています。

したがって、$f(x)$ の最大値は $16$ です。

$y = \log_2(f(x))$ なので、$y$ の最大値は $\log_2(16)$ です。

$\log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$

3. 最終的な答え

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