(1) $6^{25}$ は何桁の整数か。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。 (2) $(\frac{3}{5})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

(1) $6^{25}$ は何桁の整数か。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

(2) $(\frac{3}{5})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $6^{25}$ の桁数を求める。

まず、$6^{25}$ の常用対数を計算する。

$\log_{10}6^{25} = 25 \log_{10}6 = 25 \log_{10}(2 \times 3) = 25(\log_{10}2 + \log_{10}3)$

与えられた値を使って計算する。

$25(0.3010 + 0.4771) = 25(0.7781) = 19.4525$

整数部分が19なので、桁数は $19+1=20$ 桁。

(2) $(\frac{3}{5})^{30}$ の小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

まず、$(\frac{3}{5})^{30}$ の常用対数を計算する。

$\log_{10}(\frac{3}{5})^{30} = 30 \log_{10}(\frac{3}{5}) = 30 (\log_{10}3 - \log_{10}5)$

$\log_{10}5$ は $\log_{10}5 = \log_{10}(\frac{10}{2}) = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - \log_{10}2$ と変形できる。

$\log_{10}5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

したがって、$30(\log_{10}3 - \log_{10}5) = 30(0.4771 - 0.6990) = 30(-0.2219) = -6.657$

$-7 < -6.657 < -6$ なので、小数第7位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

(1) 20桁

(2) 小数第7位