問題は、$a = \frac{1}{2\sqrt{2} + 2}$, $b = \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$と与えられたとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $2a - b$と$ab$の値を求めよ。 (2) $8a^3 - b^3$の値を求めよ。 (3) $x = |\frac{\sqrt{2}a - \sqrt{b}}{\sqrt{2}a + \sqrt{b}}|$ , $y = |\frac{\sqrt{2}a + \sqrt{b}}{\sqrt{2}a - \sqrt{b}}|$ とするとき、$x$、$y$の値をそれぞれ求めよ。また、$x^4 - y^4$の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、$a = \frac{1}{2\sqrt{2} + 2}$, $b = \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$と与えられたとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $2a - b$と$ab$の値を求めよ。

(2) $8a^3 - b^3$の値を求めよ。

(3) $x = |\frac{\sqrt{2}a - \sqrt{b}}{\sqrt{2}a + \sqrt{b}}|$ , $y = |\frac{\sqrt{2}a + \sqrt{b}}{\sqrt{2}a - \sqrt{b}}|$ とするとき、$x$、$y$の値をそれぞれ求めよ。また、$x^4 - y^4$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a$と$b$の分母を有理化します。

$a = \frac{1}{2\sqrt{2} + 2} = \frac{1}{2(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2(2 - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

$b = \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2} = \sqrt{2} + 1$

したがって、$2a - b = 2(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}) - (\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} - 1 = -2$

$ab = (\frac{\sqrt{2} - 1}{2})(\sqrt{2} + 1) = \frac{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}{2} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$

(2)

$8a^3 - b^3 = (2a)^3 - b^3 = (2a - b)((2a)^2 + 2ab + b^2)$

ここで、$2a = \sqrt{2} - 1$, $b = \sqrt{2} + 1$

$2a - b = -2$ (既に計算済み)

$(2a)^2 = (\sqrt{2} - 1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$

$b^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

$2ab = 2(\frac{1}{2}) = 1$

$8a^3 - b^3 = (-2)(3 - 2\sqrt{2} + 1 + 3 + 2\sqrt{2}) = (-2)(7) = -14$

(3)

$x = |\frac{\sqrt{2}a - \sqrt{b}}{\sqrt{2}a + \sqrt{b}}|$, $y = |\frac{\sqrt{2}a + \sqrt{b}}{\sqrt{2}a - \sqrt{b}}|$

$\sqrt{2}a = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2} + 1}$

$x = |\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{\sqrt{2} + 1}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\sqrt{2} + 1}}|$, $y = |\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\sqrt{2} + 1}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{\sqrt{2} + 1}}|$

ここで、$y = \frac{1}{x}$であり、$x>0$, $y>0$。

$x^4 - y^4 = x^4 - (\frac{1}{x})^4 = x^4 - \frac{1}{x^4}$

$x = |\frac{\sqrt{2}a - \sqrt{b}}{\sqrt{2}a + \sqrt{b}}| = |\frac{\sqrt{2}a - \sqrt{b}}{\sqrt{2}a + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{2}a - \sqrt{b}}{\sqrt{2}a - \sqrt{b}}| = |\frac{(\sqrt{2}a - \sqrt{b})^2}{(\sqrt{2}a)^2 - (\sqrt{b})^2}|$

$(\sqrt{2}a)^2 = (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \sqrt{2}$

$(\sqrt{b})^2 = b = \sqrt{2} + 1$

$(\sqrt{2}a - \sqrt{b})^2 = (\sqrt{2}a)^2 - 2\sqrt{2}a\sqrt{b} + b = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) - 2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})\sqrt{\sqrt{2}+1} + \sqrt{2} + 1 = \frac{5}{2} - (2 - \sqrt{2})\sqrt{\sqrt{2}+1}$

$x^4 - y^4$は計算が複雑すぎるため、問題に誤りがあるか、またはさらに簡単な解法が存在する可能性があります。

3. 最終的な答え

(1) $2a - b = -2$, $ab = \frac{1}{2}$

(2) $8a^3 - b^3 = -14$

(3) 計算が複雑すぎるため、$x$, $y$, $x^4 - y^4$は求めることができません。