与えられた$x$についての二つの不等式 $\frac{5}{6}x - \frac{3}{2} \le \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}$ (1) $ax \le a(a+2)$ (2) について、以下の問いに答える問題です。ただし、$a$は0でない定数です。 (i) 不等式(1)を解け。 (ii) $a=\frac{2}{7}$のとき、不等式(1)と(2)を同時に満たす$x$の値の範囲を求めよ。 (iii) $a<0$のとき、不等式(1)と(2)を同時に満たすすべての整数の和が0となるような$a$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた$x$についての二つの不等式

$\frac{5}{6}x - \frac{3}{2} \le \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}$ (1)

$ax \le a(a+2)$ (2)

について、以下の問いに答える問題です。ただし、$a$は0でない定数です。

(i) 不等式(1)を解け。

(ii) $a=\frac{2}{7}$のとき、不等式(1)と(2)を同時に満たす$x$の値の範囲を求めよ。

(iii) $a<0$のとき、不等式(1)と(2)を同時に満たすすべての整数の和が0となるような$a$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 不等式(1)を解く。

まず、不等式(1)の両辺に12をかけます。

$12(\frac{5}{6}x - \frac{3}{2}) \le 12(\frac{1}{3}x + \frac{1}{4})$

$10x - 18 \le 4x + 3$

$6x \le 21$

$x \le \frac{21}{6}$

$x \le \frac{7}{2}$

(ii) $a=\frac{2}{7}$のとき、不等式(1)と(2)を同時に満たす$x$の値の範囲を求める。

(i)より、不等式(1)の解は$x \le \frac{7}{2}$です。

$a=\frac{2}{7}$を不等式(2)に代入すると、

$\frac{2}{7}x \le \frac{2}{7}(\frac{2}{7}+2)$

$\frac{2}{7}x \le \frac{2}{7}(\frac{16}{7})$

$x \le \frac{16}{7}$

よって、$x \le \frac{7}{2}$かつ$x \le \frac{16}{7}$を満たす$x$の範囲は、$x \le \frac{16}{7}$です。

(iii) $a<0$のとき、不等式(1)と(2)を同時に満たすすべての整数の和が0となるような$a$の値の範囲を求める。

(i)より、不等式(1)の解は$x \le \frac{7}{2}$です。

不等式(2)は、$a<0$より、$x \ge a+2$となります。

したがって、$a+2 \le x \le \frac{7}{2}$を満たす整数の和が0となるような$a$の範囲を求めることになります。

$\frac{7}{2} = 3.5$なので、不等式(1)を満たす整数は3, 2, 1, 0, -1, -2, ...となります。

$a+2 \le x \le 3.5$を満たす整数の和が0になるためには、最低でも3, 2, 1, 0, -1, -2, -3が含まれている必要があります。

つまり、$a+2 \le -3$となればよいです。

$a \le -5$

しかし、$a+2$から3までの整数の和が0になるためには、

$a+2 > -4$である必要もあります。

$a > -6$

したがって、$-6 < a \le -5$

3. 最終的な答え

(i) $x \le \frac{7}{2}$

(ii) $x \le \frac{16}{7}$

(iii) $-6 < a \le -5$