与えられた対数不等式を解きます。具体的には、以下の3つの不等式を解きます。 (1) $\log_{\frac{1}{3}}(x-2)+3>0$ (3) $2\log_2 x - \log_2 (3x-2) \geq 0$ (5) $\log_2 (x-1) - \log_{\frac{1}{2}} (x-3) < 3$

1. 問題の内容

与えられた対数不等式を解きます。具体的には、以下の3つの不等式を解きます。

(1) $\log_{\frac{1}{3}}(x-2)+3>0$

(3) $2\log_2 x - \log_2 (3x-2) \geq 0$

(5) $\log_2 (x-1) - \log_{\frac{1}{2}} (x-3) < 3$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{\frac{1}{3}}(x-2)+3>0$

まず、対数の真数条件より $x-2 > 0$ すなわち $x>2$ が必要です。

不等式を変形します。

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) > -3$

底が $\frac{1}{3}$ なので、指数関数に直す際に不等号の向きが変わります。

$x-2 < (\frac{1}{3})^{-3}$

$x-2 < 3^3$

$x-2 < 27$

$x < 29$

真数条件と合わせて、$2 < x < 29$

(3) $2\log_2 x - \log_2 (3x-2) \geq 0$

真数条件より、$x>0$ かつ $3x-2>0$、すなわち $x > \frac{2}{3}$ が必要です。

不等式を変形します。

$\log_2 x^2 - \log_2 (3x-2) \geq 0$

$\log_2 \frac{x^2}{3x-2} \geq 0$

底が2なので、指数関数に直す際に不等号の向きは変わりません。

$\frac{x^2}{3x-2} \geq 1$

$x^2 \geq 3x-2$

$x^2 - 3x + 2 \geq 0$

$(x-1)(x-2) \geq 0$

よって、$x \leq 1$ または $x \geq 2$

真数条件 $x > \frac{2}{3}$ と合わせて、$\frac{2}{3} < x \leq 1$ または $x \geq 2$

(5) $\log_2 (x-1) - \log_{\frac{1}{2}} (x-3) < 3$

真数条件より、$x-1>0$ かつ $x-3>0$、すなわち $x>3$ が必要です。

$\log_2 (x-1) - \log_{\frac{1}{2}} (x-3) < 3$

$\log_2 (x-1) - \frac{\log_2 (x-3)}{\log_2 (\frac{1}{2})} < 3$

$\log_2 (x-1) - \frac{\log_2 (x-3)}{-1} < 3$

$\log_2 (x-1) + \log_2 (x-3) < 3$

$\log_2 ((x-1)(x-3)) < 3$

$(x-1)(x-3) < 2^3$

$x^2 - 4x + 3 < 8$

$x^2 - 4x - 5 < 0$

$(x-5)(x+1) < 0$

$-1 < x < 5$

真数条件 $x>3$ と合わせて、$3 < x < 5$

3. 最終的な答え

(1) $2 < x < 29$

(3) $\frac{2}{3} < x \leq 1$ または $x \geq 2$

(5) $3 < x < 5$