問題は、2つの直線 $l: y = -x + 6$ と $m: y = -2x + k$ (ただし、$6 < k < 12$) について、以下の問いに答えるものです。 * 問1: $k = 7$ のときの点 $P$ の座標を求めよ。 * 問2: 直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $Q$ とする。 * (1) $k = 8$ のとき、四角形 $OQPB$ の面積を求めよ。 * (2) 線分 $OB$ の中点を $R$ とする。$\triangle PQR$ の面積が $2 cm^2$ であるとき、$k$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は、2つの直線 $l: y = -x + 6$ と $m: y = -2x + k$ (ただし、$6 < k < 12$) について、以下の問いに答えるものです。

* 問1: $k = 7$ のときの点 $P$ の座標を求めよ。

* 問2: 直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $Q$ とする。

* (1) $k = 8$ のとき、四角形 $OQPB$ の面積を求めよ。

* (2) 線分 $OB$ の中点を $R$ とする。$\triangle PQR$ の面積が $2 cm^2$ であるとき、$k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問1: $k = 7$ のとき、点 $P$ は2直線 $l$ と $m$ の交点なので、連立方程式を解きます。

$y = -x + 6$

$y = -2x + 7$

上の式から下の式を引くと

$0 = x - 1$

$x = 1$

これを $y = -x + 6$ に代入すると、

$y = -1 + 6 = 5$

したがって、$P(1, 5)$ です。

問2: (1) $k = 8$ のとき、直線 $m$ は $y = -2x + 8$ です。

$Q$ は直線 $m$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入すると、

$0 = -2x + 8$

$2x = 8$

$x = 4$

よって、$Q(4, 0)$ です。

$A$ は直線 $l$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入すると、

$0 = -x + 6$

$x = 6$

よって、$A(6, 0)$ です。

$B$ は直線 $l$ と $y$ 軸の交点なので、$x = 0$ を代入すると、

$y = -0 + 6 = 6$

よって、$B(0, 6)$ です。

四角形 $OQPB$ の面積は、$\triangle OQB$ の面積と $\triangle QPB$ の面積の和で求められます。

$\triangle OQB$ の面積は、$\frac{1}{2} \times OQ \times OB = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$ です。

$P$ は2直線 $l: y = -x + 6$ と $m: y = -2x + 8$ の交点なので、連立方程式を解きます。

$y = -x + 6$

$y = -2x + 8$

上の式から下の式を引くと

$0 = x - 2$

$x = 2$

これを $y = -x + 6$ に代入すると、

$y = -2 + 6 = 4$

したがって、$P(2, 4)$ です。

$\triangle QPB$ の面積は、底辺を $QB$ とみると、高さは $P$ の $x$ 座標になります。$QB = \sqrt{(4-0)^2+(0-6)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$

高さは点 $P(2,4)$ から直線 $y = -2x + 8$ までの距離なので,

$y+2x-8=0$ と $P(2,4)$ の距離 $d$ は

$d = \frac{|4+2*2-8|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|0|}{\sqrt{5}} = 0$

これはおかしいので、$\triangle OQB$と$\triangle OPB$の引き算で求める。

$\triangle OQB = \frac{1}{2} |4(6-0)+0(0-0)+0(0-6)| = 12$

$\triangle OPB = \frac{1}{2} |0(4-6)+2(6-0)+0(0-4)| = \frac{1}{2} |12| = 6$

四角形$OQPB = \triangle OQB + \triangle QPB = 12 + \frac{1}{2}|(4-2)(6-4) - (0-4)(0-2)| = 12 + \frac{1}{2} |2*2 -(-4)(-2)| = 12 + \frac{1}{2}|4-8| = 12 + 2 = 14$

問2: (2) $B(0, 6)$ の中点 $R$ は $(0, 3)$ です。

$P$ は2直線 $y = -x + 6$ と $y = -2x + k$ の交点なので、連立方程式を解きます。

$y = -x + 6$

$y = -2x + k$

$x = k - 6$

$y = - (k - 6) + 6 = -k + 12$

したがって、$P(k - 6, -k + 12)$ です。

$Q$ は直線 $y = -2x + k$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入すると、$0 = -2x + k$, $x = \frac{k}{2}$。 よって、$Q(\frac{k}{2}, 0)$ です。

$\triangle PQR$ の面積が 2 であるとき、

$\triangle PQR = \frac{1}{2} | (k-6)(0-3) + \frac{k}{2} (-3 - (-k+12)) + 0(-k+12 - 0)| = \frac{1}{2} | -3(k-6) + \frac{k}{2}(-15+k)| = 2$

$| -3k + 18 - \frac{15}{2}k + \frac{k^2}{2} | = 4$

$| \frac{k^2}{2} - \frac{21}{2}k + 18 | = 4$

$\frac{k^2}{2} - \frac{21}{2}k + 18 = 4$ or $\frac{k^2}{2} - \frac{21}{2}k + 18 = -4$

$k^2 - 21k + 36 = 8$ or $k^2 - 21k + 36 = -8$

$k^2 - 21k + 28 = 0$ or $k^2 - 21k + 44 = 0$

$k = \frac{21 \pm \sqrt{21^2 - 4*28}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 112}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{329}}{2} \approx 1.4, 19.6$

$k = \frac{21 \pm \sqrt{21^2 - 4*44}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 176}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{265}}{2} \approx 2.37, 18.6$

いずれも $6 < k < 12$ を満たさないので、計算ミス。

$\vec{QR} = (0 - \frac{k}{2}, 3-0) = (-\frac{k}{2}, 3)$

$\vec{QP} = (k-6 - \frac{k}{2}, -k+12-0) = (\frac{k}{2}-6, -k+12)$

$|\frac{1}{2}(-\frac{k}{2}(-k+12) - 3(\frac{k}{2}-6))| = 2$

$|-\frac{k}{2}(-k+12) - 3(\frac{k}{2}-6)| = 4$

$|\frac{k^2}{2}-6k - \frac{3k}{2}+18| = 4$

$|\frac{k^2}{2} - \frac{15k}{2}+18| = 4$

$\frac{k^2}{2} - \frac{15k}{2}+18 = 4$ or $\frac{k^2}{2} - \frac{15k}{2}+18 = -4$

$k^2 - 15k + 36 = 8$ or $k^2 - 15k + 36 = -8$

$k^2 - 15k + 28 = 0$ or $k^2 - 15k + 44 = 0$

$k = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 112}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{113}}{2} \approx 2.47, 12.5$ or $k = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 176}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{15 \pm 7}{2} = 4, 11$

$6 < k < 12$ より、$k=11$

3. 最終的な答え

問1: $P(1, 5)$

問2: (1) 14

(2) k = 11