与えられた対数不等式 $1 + 2\log_{2}{x} - \log_{2}{(7x-3)} \ge 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた対数不等式 $1 + 2\log_{2}{x} - \log_{2}{(7x-3)} \ge 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、対数の定義から $x > 0$ かつ $7x - 3 > 0$ である必要がある。

つまり、$x > \frac{3}{7}$。

次に、不等式を変形していく。

$1 + 2\log_{2}{x} - \log_{2}{(7x-3)} \ge 0$

$\log_{2}{2} + \log_{2}{x^2} - \log_{2}{(7x-3)} \ge 0$

$\log_{2}{\frac{2x^2}{7x-3}} \ge 0$

真数条件から、

$\frac{2x^2}{7x-3} \ge 1$

$2x^2 \ge 7x - 3$

$2x^2 - 7x + 3 \ge 0$

$(2x - 1)(x - 3) \ge 0$

したがって、$x \le \frac{1}{2}$ または $x \ge 3$。

$x > \frac{3}{7}$ という条件と合わせて、$x$ の範囲は $\frac{3}{7} < x \le \frac{1}{2}$ または $x \ge 3$。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{7} < x \le \frac{1}{2}$ または $x \ge 3$