与えられた3つの対数方程式を解きます。 (1) $\log_x (5x+6) = 2$ (3) $\log_{\frac{1}{6}} (x+3) - \log_6 (x+4) = -1$ (5) $(\log_3 x)^2 - \log_{\sqrt{3}} x^2 + 3 = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの対数方程式を解きます。

(1) $\log_x (5x+6) = 2$

(3) $\log_{\frac{1}{6}} (x+3) - \log_6 (x+4) = -1$

(5) $(\log_3 x)^2 - \log_{\sqrt{3}} x^2 + 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) 対数の定義より、$x^2 = 5x+6$ が成り立ちます。

これを変形すると、$x^2 - 5x - 6 = 0$ となります。

因数分解すると、$(x-6)(x+1) = 0$ となり、$x = 6, -1$ が得られます。

対数の底の条件より、$x > 0$ かつ $x \neq 1$ である必要があるので、$x = 6$ のみが解となります。

(3) $\log_{\frac{1}{6}} (x+3) - \log_6 (x+4) = -1$

$\log_{\frac{1}{6}} (x+3) = - \log_6 (x+3)$ であるから、与式は

$- \log_6 (x+3) - \log_6 (x+4) = -1$

$\log_6 (x+3) + \log_6 (x+4) = 1$

$\log_6 [(x+3)(x+4)] = 1$

$(x+3)(x+4) = 6^1 = 6$

$x^2 + 7x + 12 = 6$

$x^2 + 7x + 6 = 0$

$(x+1)(x+6) = 0$

$x = -1, -6$

真数条件より、$x+3 > 0$ かつ $x+4 > 0$ である必要があるので、$x > -3$ を満たす必要があります。

したがって、$x = -1$ のみが解となります。

(5) $(\log_3 x)^2 - \log_{\sqrt{3}} x^2 + 3 = 0$

$\log_{\sqrt{3}} x^2 = \frac{\log_3 x^2}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{2 \log_3 x}{\frac{1}{2}} = 4 \log_3 x$

$(\log_3 x)^2 - 4 \log_3 x + 3 = 0$

$t = \log_3 x$ とおくと、$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t-1)(t-3) = 0$

$t = 1, 3$

$\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$

$\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$

真数条件より、$x>0$ である必要があるため、$x = 3, 27$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 6$

(3) $x = -1$

(5) $x = 3, 27$