数列 $\{a_n\}: 1, 6, 13, 22, 33, 46, \dots$ の階差数列の第 $n$ 項と、数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}: 1, 6, 13, 22, 33, 46, \dots$ の階差数列の第 $n$ 項と、数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。

$b_n = a_{n+1} - a_n$ を計算します。

$b_1 = 6 - 1 = 5$

$b_2 = 13 - 6 = 7$

$b_3 = 22 - 13 = 9$

$b_4 = 33 - 22 = 11$

$b_5 = 46 - 33 = 13$

階差数列は $\{b_n\}: 5, 7, 9, 11, 13, \dots$ となり、これは初項が $5$、公差が $2$ の等差数列です。

したがって、階差数列 $\{b_n\}$ の第 $n$ 項は、

$b_n = 5 + (n-1) \times 2 = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$

となります。

次に、数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を求めます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ (ただし $n \geq 2$)

$a_1 = 1$ であり、$b_k = 2k + 3$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 3) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 3$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ であり、$\sum_{k=1}^{n-1} 3 = 3(n-1)$ なので、

$a_n = 1 + 2\times\frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1) = 1 + n(n-1) + 3n - 3 = 1 + n^2 - n + 3n - 3 = n^2 + 2n - 2$

$n=1$ のとき $a_1 = 1^2 + 2(1) - 2 = 1 + 2 - 2 = 1$ となり、与えられた数列の初項と一致します。

したがって、$a_n = n^2 + 2n - 2$

3. 最終的な答え

階差数列の第 $n$ 項は $2n+3$ であり、$a_n = n^2 + 2n - 2$ である。