問題は以下の数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。 (7) $S_n = 2n^2 + 5n$ である数列 $\{a_n\}$ (ア) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 6$ (イ) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$ (ウ) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + 3n^2$ (エ) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$

1. 問題の内容

問題は以下の数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

(7) $S_n = 2n^2 + 5n$ である数列 $\{a_n\}$

(ア) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 6$

(イ) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$

(ウ) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + 3n^2$

(エ) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$

2. 解き方の手順

(7) $S_n$ から $a_n$ を求める:

$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) = 7$

$n \geq 2$ のとき

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 5n) - [2(n-1)^2 + 5(n-1)] = 2n^2 + 5n - [2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5] = 2n^2 + 5n - (2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5) = 2n^2 + 5n - (2n^2 + n - 3) = 4n + 3$

$a_1 = 4(1) + 3 = 7$ なので、$a_n = 4n + 3$ は $n=1$ でも成立する。

よって、$a_n = 4n + 3$.

(ア) $a_{n+1} = a_n + 6$ は等差数列なので、$a_n = a_1 + (n-1)d$ (ただし $d$ は公差)

$a_1 = 1$, $d=6$ なので、$a_n = 1 + (n-1)6 = 1 + 6n - 6 = 6n - 5$.

(イ) $a_{n+1} = 3a_n$ は等比数列なので、$a_n = a_1 r^{n-1}$ (ただし $r$ は公比)

$a_1 = 2$, $r=3$ なので、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$.

(ウ) $a_{n+1} = a_n + 3n^2$

$a_{n+1} - a_n = 3n^2$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k^2 = 0 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{2}$

$a_n = n^3 - \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$

(エ) $a_{n+1} = 3a_n - 2$

$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$

$b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$

$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

$a_n = b_n + 1 = 3^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

(7) $a_n = 4n + 3$

(ア) $a_n = 6n - 5$

(イ) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

(ウ) $a_n = n^3 - \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n = \frac{n(n-1)(2n-1)}{2}$

(エ) $a_n = 3^{n-1} + 1$