不等式 $\log_x (2x^2 + 5x - 6) > 3$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\log_x (2x^2 + 5x - 6) > 3$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、対数の底 $x$ の条件と真数の条件を確認する。

* 底の条件: $x > 0$ かつ $x \neq 1$

* 真数の条件: $2x^2 + 5x - 6 > 0$

$2x^2 + 5x - 6 > 0$ を解く。

$2x^2 + 5x - 6 = 0$ を解の公式を用いて解く。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 48}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{4}$

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{73}}{4} \approx -3.386$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{73}}{4} \approx 0.886$

したがって、$2x^2 + 5x - 6 > 0$ を満たす $x$ の範囲は、$x < \frac{-5 - \sqrt{73}}{4}$ または $x > \frac{-5 + \sqrt{73}}{4}$ となる。

底の条件 $x > 0$ を考慮すると、$x > \frac{-5 + \sqrt{73}}{4}$ が真数の条件を満たす。

次に、$\log_x (2x^2 + 5x - 6) > 3$ を解く。場合分けを行う。

(i) $x > 1$ のとき、

$2x^2 + 5x - 6 > x^3$

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 < 0$

$(x-1)(x^2 - x - 6) < 0$

$(x-1)(x-3)(x+2) < 0$

$x < -2$ または $1 < x < 3$

$x > 1$ の範囲で考えると、$1 < x < 3$。

真数の条件 $x > \frac{-5 + \sqrt{73}}{4}$ より、$1 < x < 3$ が解となる。

(ii) $0 < x < 1$ のとき、

$2x^2 + 5x - 6 < x^3$

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 > 0$

$(x-1)(x-3)(x+2) > 0$

$-2 < x < 1$ または $x > 3$

$0 < x < 1$ の範囲で考えると、$-2 < x < 1$より、$0 < x < 1$。

真数の条件 $x > \frac{-5 + \sqrt{73}}{4}$ より、$\frac{-5 + \sqrt{73}}{4} < x < 1$ が解となる。

したがって、不等式の解は、$\frac{-5 + \sqrt{73}}{4} < x < 1$ または $1 < x < 3$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{-5 + \sqrt{73}}{4} < x < 1$ または $1 < x < 3$