$x \le 2$ の範囲において、常に $x^2 - 2ax + 3a > 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x \le 2$ の範囲において、常に $x^2 - 2ax + 3a > 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - 2ax + 3a$ とおく。

この問題は、$x \le 2$ の範囲において、$f(x) > 0$ となるような $a$ の範囲を求める問題である。

平方完成を行うと、

$f(x) = (x-a)^2 - a^2 + 3a$ となる。

軸は $x = a$ である。

場合分けを行う。

(i) $a > 2$ のとき

$x \le 2$ の範囲において、$f(x)$ は単調減少である。

したがって、$f(2) > 0$ であれば良い。

$f(2) = 4 - 4a + 3a = 4 - a > 0$

$a < 4$

$a > 2$ より、$2 < a < 4$

(ii) $a \le 2$ のとき

$x \le 2$ の範囲における $f(x)$ の最小値は、頂点の $y$ 座標である $-a^2 + 3a$ である。

したがって、$-a^2 + 3a > 0$ であれば良い。

$-a^2 + 3a = a(-a + 3) > 0$

$0 < a < 3$

$a \le 2$ より、$0 < a \le 2$

(i), (ii) より、$0 < a < 4$

3. 最終的な答え

$0 < a < 4$