問題は以下の2つです。 1. $\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$ のとき、$5^{25}$ は何桁の数か。また、$5^{25}$ の最高位の数字を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

1. $\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$ のとき、$5^{25}$ は何桁の数か。また、$5^{25}$ の最高位の数字を求めよ。

2. $\log_{10} 2 = 0.3010$ のとき、$(\frac{1}{125})^{20}$ を小数で表したとき、初めて現れる $0$ でない数字を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $5^{25}$ の桁数を求める。

$X = 5^{25}$ とおく。

$\log_{10} X = \log_{10} 5^{25} = 25 \log_{10} 5 = 25 \log_{10} (\frac{10}{2}) = 25 (\log_{10} 10 - \log_{10} 2) = 25 (1 - 0.3010) = 25 (0.6990) = 17.475$

$\log_{10} X = 17.475$ より、$X = 10^{17.475}$

$17 < \log_{10} X < 18$ なので、$X$ は $18$ 桁の数である。

$5^{25}$ の最高位の数字を求める。

$\log_{10} X = 17.475 = 17 + 0.475$

$\log_{10} 3 = 0.4771$ より、$10^{0.475} \approx 3$ であると考えられる。

$X = 10^{17} \times 10^{0.475} \approx 3 \times 10^{17}$

よって、$5^{25}$ の最高位の数字は $3$ である。

(2) $(\frac{1}{125})^{20}$ を小数で表したとき、初めて現れる $0$ でない数字を求める。

$Y = (\frac{1}{125})^{20} = (5^{-3})^{20} = 5^{-60}$

$\log_{10} Y = \log_{10} 5^{-60} = -60 \log_{10} 5 = -60 (\log_{10} \frac{10}{2}) = -60 (1 - \log_{10} 2) = -60 (1 - 0.3010) = -60(0.6990) = -41.94$

$\log_{10} Y = -41.94 = -42 + 0.06$

$Y = 10^{-42} \times 10^{0.06}$

$10^{0.06}$ の値を考える。

$\log_{10} 1 = 0$

$\log_{10} 2 = 0.3010$

$0 < 0.06 < 0.3010$ より、$1 < 10^{0.06} < 2$

$10^{0.06} \approx 1$ と考えられる。

$Y = 10^{-42} \times 10^{0.06} \approx 1 \times 10^{-42}$

したがって、$(\frac{1}{125})^{20}$ を小数で表したとき、小数点以下第 $42$ 位に初めて $1$ が現れる。

3. 最終的な答え

(1) $5^{25}$ は $18$ 桁の数であり、最高位の数字は $3$ である。

(2) $(\frac{1}{125})^{20}$ を小数で表したとき、初めて現れる $0$ でない数字は $1$ である。