$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$とする。 (1) $18^{30}$ は何桁の整数か。 (2) $18^{30}$ の最高位の数を求めよ。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$とする。

(1) $18^{30}$ は何桁の整数か。

(2) $18^{30}$ の最高位の数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $18^{30}$ の桁数を求めるために、常用対数をとる。

$\log_{10} 18^{30} = 30 \log_{10} 18 = 30 \log_{10} (2 \times 3^2)$

$= 30 (\log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3)$

$= 30 (0.3010 + 2 \times 0.4771)$

$= 30 (0.3010 + 0.9542) = 30 (1.2552) = 37.656$

よって、$18^{30}$ は $37 + 1 = 38$ 桁の整数である。

(2) $18^{30}$ の最高位の数を求める。

$\log_{10} 18^{30} = 37.656$ より、$18^{30} = 10^{37.656} = 10^{37} \times 10^{0.656}$

$10^{0.656}$ の値を評価する。

$\log_{10} 4 = 2 \log_{10} 2 = 2 \times 0.3010 = 0.6020$

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$0.6020 < 0.656 < 0.6990$ より、

$\log_{10} 4 < 0.656 < \log_{10} 5$

$4 < 10^{0.656} < 5$

したがって、$18^{30}$ の最高位の数は 4 である。

3. 最終的な答え

(1) 38 桁

(2) 4