$\sqrt{3}+1$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$a^2+ab+b^2$ と $\frac{1}{a-b-1} - \frac{1}{a+b+1}$ の値を求める。代数学平方根無理数式の計算有理化2025/8/19## 問題161. 問題の内容3+1\sqrt{3}+13+1 の整数部分を aaa, 小数部分を bbb とするとき、a2+ab+b2a^2+ab+b^2a2+ab+b2 と 1a−b−1−1a+b+1\frac{1}{a-b-1} - \frac{1}{a+b+1}a−b−11−a+b+11 の値を求める。2. 解き方の手順まず、aaa と bbb の値を求める。3\sqrt{3}3 は 1<3<21 < \sqrt{3} < 21<3<2 であるから、 2<3+1<32 < \sqrt{3}+1 < 32<3+1<3 である。したがって、a=2a=2a=2 であり、b=(3+1)−2=3−1b = (\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3}-1b=(3+1)−2=3−1 である。次に、a2+ab+b2a^2+ab+b^2a2+ab+b2 の値を計算する。a2+ab+b2=22+2(3−1)+(3−1)2=4+23−2+(3−23+1)=4+23−2+4−23=6a^2+ab+b^2 = 2^2 + 2(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1)^2 = 4 + 2\sqrt{3}-2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) = 4 + 2\sqrt{3}-2 + 4 - 2\sqrt{3} = 6a2+ab+b2=22+2(3−1)+(3−1)2=4+23−2+(3−23+1)=4+23−2+4−23=6次に、1a−b−1−1a+b+1\frac{1}{a-b-1} - \frac{1}{a+b+1}a−b−11−a+b+11 の値を計算する。a−b−1=2−(3−1)−1=2−3+1−1=2−3a-b-1 = 2 - (\sqrt{3}-1) - 1 = 2 - \sqrt{3} + 1 - 1 = 2 - \sqrt{3}a−b−1=2−(3−1)−1=2−3+1−1=2−3a+b+1=2+(3−1)+1=2+3a+b+1 = 2 + (\sqrt{3}-1) + 1 = 2 + \sqrt{3}a+b+1=2+(3−1)+1=2+31a−b−1−1a+b+1=12−3−12+3=(2+3)−(2−3)(2−3)(2+3)=234−3=23\frac{1}{a-b-1} - \frac{1}{a+b+1} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}}{4-3} = 2\sqrt{3}a−b−11−a+b+11=2−31−2+31=(2−3)(2+3)(2+3)−(2−3)=4−323=233. 最終的な答えa2+ab+b2=6a^2+ab+b^2 = 6a2+ab+b2=61a−b−1−1a+b+1=23\frac{1}{a-b-1} - \frac{1}{a+b+1} = 2\sqrt{3}a−b−11−a+b+11=23
