$f_n(x)$ が以下のように定義されているとき、$f_0(x) = e^x - 1$ となる理由を説明する問題です。 $f_n(x) = e^x - \left(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}\right)$

1. 問題の内容

$f_n(x)$ が以下のように定義されているとき、$f_0(x) = e^x - 1$ となる理由を説明する問題です。

$f_n(x) = e^x - \left(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}\right)$

2. 解き方の手順

$f_n(x)$ の定義式において、$n = 0$ を代入します。

$f_0(x) = e^x - \left(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^0}{0!}\right)$

$f_0(x) = e^x - \frac{x^0}{0!}$ までの項のみが残ります。

$0! = 1$ であり、$x^0 = 1$ なので、

$f_0(x) = e^x - 1$

3. 最終的な答え

$f_0(x) = e^x - 1$ となる理由は、$n = 0$ を $f_n(x)$ の定義式に代入したときに、$\frac{x^0}{0!} = \frac{1}{1} = 1$ となり、$f_0(x) = e^x - 1$ が得られるからです。