底面が正方形ABCDで、頂点がOである四角錐があります。 AB = 6 cm、OA = $3\sqrt{11}$ cm のとき、頂点Oから底面に下ろした垂線の足Hとすると、線分OHの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

底面が正方形ABCDで、頂点がOである四角錐があります。

AB = 6 cm、OA = $3\sqrt{11}$ cm のとき、頂点Oから底面に下ろした垂線の足Hとすると、線分OHの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、Hは正方形ABCDの中心であることに注目します。

AHの長さを求めます。正方形ABCDの対角線ACの長さは、

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{2 \times 6^2} = 6\sqrt{2}$ cm

AHはACの半分なので、

$AH = \frac{AC}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ cm

次に、直角三角形OAHにおいて、ピタゴラスの定理を利用します。

$OA^2 = AH^2 + OH^2$

よって、

$OH^2 = OA^2 - AH^2$

$OH^2 = (3\sqrt{11})^2 - (3\sqrt{2})^2$

$OH^2 = 9 \times 11 - 9 \times 2 = 99 - 18 = 81$

$OH = \sqrt{81} = 9$ cm

OHの長さは正である必要があります。

3. 最終的な答え

9 cm