与えられた問題を解きます。 (1) $\log_4 3 \cdot \log_9 25 \cdot \log_5 8$ を簡単にします。 (2) 方程式 $\log_2(x-1) = 3$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題を解きます。

(1) $\log_4 3 \cdot \log_9 25 \cdot \log_5 8$ を簡単にします。

(2) 方程式 $\log_2(x-1) = 3$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 対数の底の変換公式を使って、底を共通にすることで計算を簡単にします。

対数の底の変換公式は、$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ です。

今回は底を10に変換します。

$\log_4 3 \cdot \log_9 25 \cdot \log_5 8 = \frac{\log 3}{\log 4} \cdot \frac{\log 25}{\log 9} \cdot \frac{\log 8}{\log 5}$

$= \frac{\log 3}{\log 2^2} \cdot \frac{\log 5^2}{\log 3^2} \cdot \frac{\log 2^3}{\log 5}$

$= \frac{\log 3}{2\log 2} \cdot \frac{2\log 5}{2\log 3} \cdot \frac{3\log 2}{\log 5}$

$= \frac{\log 3}{2\log 2} \cdot \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{3\log 2}{\log 5}$

$= \frac{3\log 2 \log 3 \log 5}{2\log 2 \log 3 \log 5}$

$= \frac{3}{2}$

(2) 対数の定義より、$\log_a b = c$ は $a^c = b$ と同値です。

これを利用して、方程式を解きます。

$\log_2(x-1) = 3$

$2^3 = x - 1$

$8 = x - 1$

$x = 8 + 1$

$x = 9$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $x = 9$