$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母の$\sqrt{n+1}$を$\sqrt{n}$でくくり出すことを考えます。

$\sqrt{n+1} = \sqrt{n(1+\frac{1}{n})} = \sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{n}}$

したがって、

$\frac{n}{\sqrt{n+1}} = \frac{n}{\sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{n}}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、$\sqrt{1+\frac{1}{n}} \to \sqrt{1+0} = 1$ となります。

また、$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n} \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = \frac{\infty}{1} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$