関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ が与えられている。 (1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表す。 (2) $x \le -1$ の範囲で $x$ が動くとき、$f(x)$ のとり得る値の範囲を求める。 (3) $a$ を定数とする。$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が13以下であるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ が与えられている。

(1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表す。

(2) $x \le -1$ の範囲で $x$ が動くとき、$f(x)$ のとり得る値の範囲を求める。

(3) $a$ を定数とする。$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が13以下であるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2^x = t$ とおくとき、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ であり、$2^{x-2} = 2^x \cdot 2^{-2} = \frac{1}{4} \cdot 2^x = \frac{1}{4}t$ である。よって、$f(x) = t^2 - 3 \cdot \frac{1}{4}t = t^2 - \frac{3}{4}t$ と表せる。

(2) $x \le -1$ のとき、$t = 2^x \le 2^{-1} = \frac{1}{2}$ であり、$t>0$ である。$f(x) = t^2 - \frac{3}{4}t = \left(t - \frac{3}{8}\right)^2 - \frac{9}{64}$ である。

$t$ の範囲は $0 < t \le \frac{1}{2}$ であり、$t = \frac{3}{8}$ はこの範囲に含まれる。

$t = \frac{3}{8}$ のとき、最小値 $-\frac{9}{64}$ をとる。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}$ をとる。

$t=0$ に近づくと、$f(x)$ は0に近づく。

よって、$f(x)$ のとり得る値の範囲は $-\frac{9}{64} \le f(x) < 0$ ではない。

$t = 1/2$のとき、$f(1/2) = (1/2)^2 - (3/4)*(1/2) = 1/4 - 3/8 = -1/8$.

$t \rightarrow 0$のとき、$f(t) \rightarrow 0$.

$f(x)$は、$t=\frac{3}{8}$で最小値 $-\frac{9}{64}$をとる。

したがって、$f(x)$のとりうる値の範囲は、$-\frac{9}{64} \leq f(x) < 0$.

(3) $f(x)$ が $x = a+1$ で最大となるので、$a \le x \le a+1$ で $x = a+1$ のとき $t = 2^{a+1}$ で最大値となる。

$f(a+1) = (2^{a+1})^2 - \frac{3}{4} 2^{a+1} = 4^{a+1} - \frac{3}{4} 2^{a+1} \le 13$

$t = 2^{a+1}$ とすると、$t^2 - \frac{3}{4}t \le 13$

$t^2 - \frac{3}{4}t - 13 \le 0$

$4t^2 - 3t - 52 \le 0$

$(4t+13)(t-4) \le 0$

$-\frac{13}{4} \le t \le 4$

$t = 2^{a+1} > 0$ より $0 < t \le 4$

$2^{a+1} \le 4 = 2^2$ より $a+1 \le 2$ すなわち $a \le 1$

$f(x)$ は下に凸なので、$x=a+1$ で最大となるためには、$a \le 3/8 \le a+1$ である必要がある。

また，$x = a+1$で最大となるには、$a \le 3/8 \le a+1$が必要なので、$a+1 \ge 3/8$, $a \le 3/8$.

したがって$a \ge -5/8$。よって、$-5/8 \le a \le 1$

$a \le 1$.

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = t^2 - \frac{3}{4}t$

(2) $-\frac{9}{64} \le f(x) < 0$

(3) $-\frac{5}{8} \le a \le 1$