曲線 $y = \cos 2x$ と $y = \sin 2x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を、$0 \le x \le \pi$ の範囲で求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = \cos 2x$ と $y = \sin 2x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を、$0 \le x \le \pi$ の範囲で求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos 2x$ と $y = \sin 2x$ の交点を求めます。

$\cos 2x = \sin 2x$ を解くと、$\tan 2x = 1$ となります。

$0 \le x \le \pi$ より、$0 \le 2x \le 2\pi$ なので、$2x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ となります。

したがって、$x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$ が交点の $x$ 座標となります。

次に、$\frac{\pi}{8}$ から $\frac{5\pi}{8}$ の区間で、どちらの関数が大きいかを確認します。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ であり、$\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ です。

したがって、$\frac{\pi}{8} \le x \le \frac{5\pi}{8}$ において、$\sin 2x \ge \cos 2x$ です。

求める面積 $S$ は、積分を使って次のように計算できます。

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S = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{5\pi}{8}} (\sin 2x - \cos 2x) \, dx

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積分を実行します。

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\int (\sin 2x - \cos 2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x - \frac{1}{2} \sin 2x + C

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したがって、

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S = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{5\pi}{8}}

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S = \left( -\frac{1}{2} \cos \frac{5\pi}{4} - \frac{1}{2} \sin \frac{5\pi}{4} \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} \right)

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S = \left( -\frac{1}{2} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{1}{2} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) - \left( -\frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right)

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S = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}

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3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$