$f(x)$ はすべての実数 $x$ に対して定義された連続関数とする。 $g(x) = \frac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2 f(t) dt$ で定義される関数 $g(x)$ が与えられている。

1. 問題の内容

$f(x)$ はすべての実数 $x$ に対して定義された連続関数とする。

$g(x) = \frac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2 f(t) dt$ で定義される関数 $g(x)$ が与えられている。

2. 解き方の手順

問題は $g(x)$ の定義式が与えられている状態です。

この問題文だけでは、具体的に何を求めるのかわかりません。

しかし、$g(x)$ が積分で定義されているので、$g(x)$ を微分したり、$g(x)$ の性質を調べたりする問題が考えられます。

ここでは、ライプニッツの積分法則を用いて、$g(x)$を微分することを考えます。

$g(x) = \frac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2 f(t) dt$

まず、$g(x)$ を $x$ で微分します。

$g'(x) = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \int_0^x (x-t)^2 f(t) dt$

ライプニッツの積分法則より、

$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} F(x, t) dt = F(x, b(x)) \frac{db(x)}{dx} - F(x, a(x)) \frac{da(x)}{dx} + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} F(x, t) dt$

この場合、$F(x, t) = (x-t)^2 f(t)$, $a(x) = 0$, $b(x) = x$ です。

$\frac{da(x)}{dx} = 0$, $\frac{db(x)}{dx} = 1$

$g'(x) = \frac{1}{2} \left[ (x-x)^2 f(x) \cdot 1 - (x-0)^2 f(0) \cdot 0 + \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} (x-t)^2 f(t) dt \right]$

$g'(x) = \frac{1}{2} \int_0^x 2(x-t) f(t) dt = \int_0^x (x-t) f(t) dt$

次に、$g'(x)$ を $x$ で微分します。

$g''(x) = \frac{d}{dx} \int_0^x (x-t) f(t) dt$

ライプニッツの積分法則より、

$g''(x) = (x-x) f(x) \cdot 1 - (x-0) f(0) \cdot 0 + \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} (x-t) f(t) dt$

$g''(x) = \int_0^x f(t) dt$

さらに、$g''(x)$ を $x$ で微分します。

$g'''(x) = \frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt$

微積分学の基本定理より、

$g'''(x) = f(x)$

3. 最終的な答え

$g'(x) = \int_0^x (x-t) f(t) dt$

$g''(x) = \int_0^x f(t) dt$

$g'''(x) = f(x)$

問題文から、何を答えるべきかわかりませんが、三次導関数を求めてみました。

$g'''(x) = f(x)$