連続関数 $f(x)$ が与えられ、$g(x) = \frac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2 f(t) dt$ と定義するとき、$g(x)$ の3次導関数 $g'''(x)$ を $f(x)$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

連続関数 $f(x)$ が与えられ、$g(x) = \frac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2 f(t) dt$ と定義するとき、$g(x)$ の3次導関数 $g'''(x)$ を $f(x)$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$g(x)$ を微分する必要があります。積分記号付きの関数の微分なので、ライプニッツの積分法則を利用します。

$g(x) = \frac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2 f(t) dt$

$g'(x) = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \int_0^x (x-t)^2 f(t) dt$

ライプニッツの積分法則より

$g'(x) = \frac{1}{2} [(x-x)^2 f(x) + \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} (x-t)^2 f(t) dt]$

$g'(x) = \frac{1}{2} [0 + \int_0^x 2(x-t) f(t) dt]$

$g'(x) = \int_0^x (x-t) f(t) dt$

次に、$g'(x)$ を微分して $g''(x)$ を求めます。

$g''(x) = \frac{d}{dx} \int_0^x (x-t) f(t) dt$

ライプニッツの積分法則より

$g''(x) = (x-x) f(x) + \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} (x-t) f(t) dt$

$g''(x) = 0 + \int_0^x f(t) dt$

$g''(x) = \int_0^x f(t) dt$

最後に、$g''(x)$ を微分して $g'''(x)$ を求めます。

$g'''(x) = \frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt$

微積分学の基本定理より

$g'''(x) = f(x)$

3. 最終的な答え

$g'''(x) = f(x)$