与えられた問題は、次の定積分の微分を計算することです。 $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} (xf(t)) dt$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の定積分の微分を計算することです。

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} (xf(t)) dt$

2. 解き方の手順

まず、積分記号の中の $x$ を積分の外に出します。なぜなら、積分変数は $t$ であり、$x$ は $t$ に依存しないからです。

$\frac{d}{dx} \left[ x \int_{0}^{x} f(t) dt \right]$

次に、積の微分法則を使います。積の微分法則は、$(uv)' = u'v + uv'$ で与えられます。ここで、$u = x$ であり、$v = \int_{0}^{x} f(t) dt$ であるとします。

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} f(t) dt = f(x)$ (微積分学の基本定理)

したがって、

$\frac{d}{dx} \left[ x \int_{0}^{x} f(t) dt \right] = 1 \cdot \int_{0}^{x} f(t) dt + x \cdot f(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt + xf(x)$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{x} f(t) dt + xf(x)$