$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{1-\cos x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{1-\cos x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to 0} \log(1+x^2) = \log(1+0) = \log(1) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$ であるため、この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理を適用するため、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

$\frac{d}{dx} \log(1+x^2) = \frac{1}{1+x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^2}$

分母の微分:

$\frac{d}{dx} (1-\cos x) = 0 - (-\sin x) = \sin x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x}{1+x^2}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{(1+x^2)\sin x}$

再度、$\lim_{x \to 0} 2x = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} (1+x^2)\sin x = (1+0)\cdot 0 = 0$ であるため、$\frac{0}{0}$ の不定形です。再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{(1+x^2)\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sin x(2x) + (1+x^2)\cos x}$

分子の微分:

$\frac{d}{dx} 2x = 2$

分母の微分:

$\frac{d}{dx} [(1+x^2)\sin x] = (2x) \sin x + (1+x^2) \cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{2x\sin x + (1+x^2)\cos x}$

$x \to 0$ のとき、$2x \sin x \to 0$ であり、$(1+x^2) \cos x \to (1+0)\cos(0) = 1$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{2x\sin x + (1+x^2)\cos x} = \frac{2}{0 + 1} = 2$

別の解法として、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x^2} \cdot \frac{x^2}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x^2} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x} \cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(1+\cos x)}{1 - \cos^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(1+\cos x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x} \cdot (1+\cos x) = \lim_{x \to 0} (\frac{x}{\sin x})^2 \cdot (1+\cos x) = 1^2 \cdot (1+1) = 2$

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{1-\cos x} = 1 \cdot 2 = 2$

3. 最終的な答え

2