(2) $y = x^{\sin x}$ と (3) $y = \sinh^{-1}(\frac{x}{a})$ の導関数を求めます。

1. 問題の内容

(2) $y = x^{\sin x}$ と (3) $y = \sinh^{-1}(\frac{x}{a})$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

(2)

両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^{\sin x}) = \sin x \cdot \ln x$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

$y = x^{\sin x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(3)

$y = \sinh^{-1}(\frac{x}{a})$ の導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{(\frac{x}{a})^2 + 1}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2} + 1}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 + a^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{|a|}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{|a|}{\sqrt{x^2+a^2}} \cdot \frac{1}{a}$

$a>0$ のとき、$|a|=a$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$

ただし、$a>0$とする。