円 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx$ が異なる2点P, Qで交わっているとき、 (1) $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) 線分PQの中点Mが描く軌跡を求め、それを図示せよ（軌跡に端点がある場合はその座標を明示せよ）。

1. 問題の内容

円 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx$ が異なる2点P, Qで交わっているとき、

(1) $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 線分PQの中点Mが描く軌跡を求め、それを図示せよ（軌跡に端点がある場合はその座標を明示せよ）。

2. 解き方の手順

(1) 円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離が円の半径より小さいことである。円の中心は $(2, 0)$、半径は $1$ である。直線 $y = mx$ は $mx - y = 0$ と表せる。点と直線の距離の公式より、円の中心 $(2, 0)$ と直線 $mx - y = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|m \cdot 2 - 0|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

これが円の半径 $1$ より小さいから、

$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 1$

両辺を2乗して、

$\frac{4m^2}{m^2 + 1} < 1$

$4m^2 < m^2 + 1$

$3m^2 < 1$

$m^2 < \frac{1}{3}$

$-\frac{1}{\sqrt{3}} < m < \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) P, Q の座標をそれぞれ $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ とすると、M の座標は $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ となる。

また、P, Q は円 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ 上の点なので、$(x-2)^2 + y^2 = 1$ に $y = mx$ を代入して、

$(x-2)^2 + (mx)^2 = 1$

$x^2 - 4x + 4 + m^2x^2 = 1$

$(1+m^2)x^2 - 4x + 3 = 0$

この2次方程式の解が $x_1, x_2$ なので、解と係数の関係より、

$x_1 + x_2 = \frac{4}{1+m^2}$

よって、M の $x$ 座標は $\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2}{1+m^2}$ となる。M の $y$ 座標は $\frac{y_1+y_2}{2} = \frac{mx_1+mx_2}{2} = m\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2m}{1+m^2}$ となる。

M の座標を $(X, Y)$ とすると、

$X = \frac{2}{1+m^2}, Y = \frac{2m}{1+m^2}$

$m = \frac{Y}{X}$ より、

$X = \frac{2}{1+(\frac{Y}{X})^2} = \frac{2X^2}{X^2+Y^2}$

$X^2 + Y^2 = 2X$

$(X-1)^2 + Y^2 = 1$

これは中心 $(1, 0)$、半径 $1$ の円である。ただし、直線 $y=mx$ は原点を通るので、 $m$ の範囲を考慮する必要がある。

$m = \frac{Y}{X}$ であり、$-\frac{1}{\sqrt{3}} < m < \frac{1}{\sqrt{3}}$ より、$-\frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{Y}{X} < \frac{1}{\sqrt{3}}$

$m = 0$ の時、$y=0$となり、$(x-2)^2+0=1$　より$x=1, 3$。$PQ$の中点は$(2, 0)$

$X=0$ はありえないので、$X > 0$。

$Y$ の範囲を求める。

$(X-1)^2 + Y^2 = 1$ 上の点であることより、$Y^2 = 1-(X-1)^2 = 1-X^2+2X-1=2X-X^2 = X(2-X)$

$-\frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{Y}{X} < \frac{1}{\sqrt{3}}$

$-\frac{X}{\sqrt{3}} < Y < \frac{X}{\sqrt{3}}$

$-\frac{X}{\sqrt{3}} < \sqrt{2X-X^2} < \frac{X}{\sqrt{3}}$

$0 \leq 2X - X^2 < \frac{X^2}{3}$

$2X - X^2 < \frac{X^2}{3}$

$6X - 3X^2 < X^2$

$6X < 4X^2$

$4X^2 - 6X > 0$

$2X(2X - 3) > 0$

$X > \frac{3}{2}$

よって、軌跡は $(x-1)^2 + y^2 = 1$ の $x > \frac{3}{2}$ の部分である。

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$(\frac{3}{2}-1)^2 + y^2 = 1$ より、$\frac{1}{4} + y^2 = 1$ なので、$y^2 = \frac{3}{4}$。$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、端点は $(\frac{3}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2})$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{\sqrt{3}} < m < \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) $(x-1)^2 + y^2 = 1$ ($x > \frac{3}{2}$)、端点は $(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ と $(\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$