与えられた積分 $\int \frac{\log(x+1)}{x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\log(x+1)}{x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = \log(x+1)$ と $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{x+1} dx$ と $v = \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x}$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int \frac{\log(x+1)}{x^2} dx = -\frac{1}{x}\log(x+1) - \int (-\frac{1}{x})\frac{1}{x+1} dx = -\frac{\log(x+1)}{x} + \int \frac{1}{x(x+1)} dx$

次に、$\int \frac{1}{x(x+1)} dx$ を計算します。部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$ とおく。

$1 = A(x+1) + Bx$

$x=0$ のとき、$1 = A(0+1) + B(0) \Rightarrow A = 1$

$x=-1$ のとき、$1 = A(-1+1) + B(-1) \Rightarrow -B = 1 \Rightarrow B = -1$

よって、$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

$\int \frac{1}{x(x+1)} dx = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx = \log|x| - \log|x+1| + C = \log|\frac{x}{x+1}| + C$

したがって、$\int \frac{\log(x+1)}{x^2} dx = -\frac{\log(x+1)}{x} + \log|\frac{x}{x+1}| + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{\log(x+1)}{x} + \log|\frac{x}{x+1}| + C$