$\int \sin 3x \cos 2x dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \sin 3x \cos 2x dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

三角関数の積和の公式を使って、積分を計算しやすい形に変形します。積和の公式の一つに、

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$

があります。これを利用すると、

$\sin 3x \cos 2x = \frac{1}{2} (\sin(3x+2x) + \sin(3x-2x)) = \frac{1}{2} (\sin 5x + \sin x)$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \sin 3x \cos 2x dx = \int \frac{1}{2} (\sin 5x + \sin x) dx$

$= \frac{1}{2} \int (\sin 5x + \sin x) dx$

$= \frac{1}{2} \left( \int \sin 5x dx + \int \sin x dx \right)$

$\sin ax$ の積分は $-\frac{1}{a} \cos ax$ なので、

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5} \cos 5x - \cos x \right) + C$

$= -\frac{1}{10} \cos 5x - \frac{1}{2} \cos x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{10} \cos 5x - \frac{1}{2} \cos x + C$