$\int \cos^4 x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \cos^4 x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x$ の倍角の公式を利用して次数を下げます。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いると、

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)^2 = \frac{1 + 2 \cos 2x + \cos^2 2x}{4}$

となります。

ここで、再び $\cos^2 2x$ に対して倍角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用いると、

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$

なので、

$\cos^4 x = \frac{1 + 2 \cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{2 + 4 \cos 2x + 1 + \cos 4x}{8} = \frac{3 + 4 \cos 2x + \cos 4x}{8}$

となります。

したがって、

$\int \cos^4 x \, dx = \int \frac{3 + 4 \cos 2x + \cos 4x}{8} \, dx = \frac{1}{8} \int (3 + 4 \cos 2x + \cos 4x) \, dx$

$= \frac{1}{8} \left( 3x + 4 \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin 4x \right) + C = \frac{1}{8} \left( 3x + 2 \sin 2x + \frac{1}{4} \sin 4x \right) + C$

$= \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8} x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$