次の関数の極値を求める問題です。問題は $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 3}$ です。

1. 問題の内容

次の関数の極値を求める問題です。問題は $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 3}$ です。

2. 解き方の手順

1. 定義域を確認します。分母が0にならないように $x \neq 3$ です。

2. 関数を微分します。商の微分公式を使います。

$y' = \frac{(2x - 3)(x - 3) - (x^2 - 3x + 1)}{(x - 3)^2}$

3. 微分を整理します。

$y' = \frac{2x^2 - 6x - 3x + 9 - x^2 + 3x - 1}{(x - 3)^2}$

$y' = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}$

4. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^2 - 6x + 8 = 0$

$(x - 2)(x - 4) = 0$

$x = 2, 4$

5. 増減表を書きます。

$x$ | $x < 2$ | $x = 2$ | $2 < x < 3$ | $x = 3$ | $3 < x < 4$ | $x = 4$ | $x > 4$

---|---|---|---|---|---|---|---

$y'$ | + | 0 | - | 定義されない | - | 0 | +

$y$ | 増加 | 極大 | 減少 | 定義されない | 減少 | 極小 | 増加

6. 極値を求めます。

$x = 2$ のとき、 $y = \frac{2^2 - 3(2) + 1}{2 - 3} = \frac{4 - 6 + 1}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1$

$x = 4$ のとき、 $y = \frac{4^2 - 3(4) + 1}{4 - 3} = \frac{16 - 12 + 1}{1} = \frac{5}{1} = 5$

3. 最終的な答え

極大値: $x = 2$ で $y = 1$

極小値: $x = 4$ で $y = 5$