与えられた2つの関数について、極値を求める問題です。 (2) $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x-3}$ (3) $y = x^2 e^{-2x}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、極値を求める問題です。

(2) $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x-3}$

(3) $y = x^2 e^{-2x}$

2. 解き方の手順

(2) $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x-3}$

まず、与えられた関数を微分します。商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x^2 - 3x + 1$, $v = x - 3$とすると、

$u' = 2x - 3$, $v' = 1$となります。

したがって、

$y' = \frac{(2x-3)(x-3) - (x^2 - 3x + 1)(1)}{(x-3)^2}$

$= \frac{2x^2 - 9x + 9 - x^2 + 3x - 1}{(x-3)^2}$

$= \frac{x^2 - 6x + 8}{(x-3)^2}$

$= \frac{(x-2)(x-4)}{(x-3)^2}$

極値を求めるために、$y' = 0$となる$x$を求めます。

$\frac{(x-2)(x-4)}{(x-3)^2} = 0$より、$x = 2, 4$。

ここで、$x=3$は定義域に含まれないため、考慮しません。

$x=2$のとき、$y = \frac{2^2 - 3(2) + 1}{2-3} = \frac{4 - 6 + 1}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1$

$x=4$のとき、$y = \frac{4^2 - 3(4) + 1}{4-3} = \frac{16 - 12 + 1}{1} = \frac{5}{1} = 5$

$x$が2より小さいとき、$y' > 0$。$x$が2と3の間にあるとき、$y' < 0$。

$x$が3と4の間にあるとき、$y' < 0$。$x$が4より大きいとき、$y' > 0$。

よって、$x=2$で極大値1、$x=4$で極小値5をとります。

(3) $y = x^2 e^{-2x}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$を用います。

$u = x^2$, $v = e^{-2x}$とすると、

$u' = 2x$, $v' = -2e^{-2x}$となります。

したがって、

$y' = 2x e^{-2x} + x^2 (-2e^{-2x})$

$= 2x e^{-2x} - 2x^2 e^{-2x}$

$= 2x e^{-2x}(1 - x)$

極値を求めるために、$y' = 0$となる$x$を求めます。

$2x e^{-2x}(1 - x) = 0$より、$x = 0, 1$。

$x=0$のとき、$y = 0^2 e^{-2(0)} = 0$

$x=1$のとき、$y = 1^2 e^{-2(1)} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

$x$が0より小さいとき、$y' < 0$。$x$が0と1の間にあるとき、$y' > 0$。$x$が1より大きいとき、$y' < 0$。

よって、$x=0$で極小値0、$x=1$で極大値$\frac{1}{e^2}$をとります。

3. 最終的な答え

(2) $x=2$で極大値1、$x=4$で極小値5

(3) $x=0$で極小値0、$x=1$で極大値$\frac{1}{e^2}$