はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

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1. 問題の内容**

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7. 次の式を展開せよ。

(1) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$

(2) $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$

(3) $(m^2-2m-1)^2$

(4) $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$

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8. 次の式を因数分解せよ。

(1) $2x^3 + 2x^2y - 6x^2$

(2) $x(x+1) + x + 1$

(3) $a(x-y) - 2(y-x)$

(4) $x^2 - 8x + 16$

(5) $4x^2 - 25y^2$

(6) $a^2 + 7a - 18$

(7) $3x^2 + 5x + 2$

(8) $3x^2 - 7x + 2$

(9) $6x^2 + x - 1$

(10) $12x^2 - 7xy - 12y^2$

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2. 解き方の手順**

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7. 式の展開

(1)

まず、$(x+1)(x-1)$ と $(x-2)(x-4)$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

$(x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$

次に、得られた式を掛け合わせます。

$(x^2 - 1)(x^2 - 6x + 8) = x^4 - 6x^3 + 8x^2 - x^2 + 6x - 8 = x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$

(2)

$(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$

まず、$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ なので、

$(x-y)^2(x+y)^2 = [(x-y)(x+y)]^2 = (x^2 - y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

次に、 $(x^2+y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

したがって、

$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) = (x^4 + y^4 - 2x^2y^2)(x^4 + y^4 + 2x^2y^2) = (x^4 + y^4)^2 - (2x^2y^2)^2 = x^8 + 2x^4y^4 + y^8 - 4x^4y^4 = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

(3)

$(m^2 - 2m - 1)^2 = ((m^2 - 2m) - 1)^2 = (m^2 - 2m)^2 - 2(m^2 - 2m) + 1 = m^4 - 4m^3 + 4m^2 - 2m^2 + 4m + 1 = m^4 - 4m^3 + 2m^2 + 4m + 1$

(4)

$(a+b-c-d)(a-b-c+d) = [a-(c+d)+b][a-(c-d)-b] = [a - (c+d)](a - (c-d)) -b^2$

$= a^2 -a(c-d) -a(c+d) + (c+d)(c-d) -b^2 = a^2 -ac + ad -ac - ad + (c^2 -d^2) -b^2 = a^2 - 2ac + c^2 -d^2 -b^2$

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8. 因数分解

(1) $2x^3 + 2x^2y - 6x^2 = 2x^2(x + y - 3)$

(2) $x(x+1) + x + 1 = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

(3) $a(x-y) - 2(y-x) = a(x-y) + 2(x-y) = (a+2)(x-y)$

(4) $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$

(5) $4x^2 - 25y^2 = (2x)^2 - (5y)^2 = (2x - 5y)(2x + 5y)$

(6) $a^2 + 7a - 18 = (a+9)(a-2)$

(7) $3x^2 + 5x + 2 = (3x+2)(x+1)$

(8) $3x^2 - 7x + 2 = (3x-1)(x-2)$

(9) $6x^2 + x - 1 = (3x-1)(2x+1)$

(10) $12x^2 - 7xy - 12y^2 = (4x+3y)(3x-4y)$

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3. 最終的な答え**

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7. 式の展開

(1) $x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$

(2) $x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

(3) $m^4 - 4m^3 + 2m^2 + 4m + 1$

(4) $a^2 - 2ac + c^2 - b^2 - d^2$

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8. 因数分解

(1) $2x^2(x + y - 3)$

(2) $(x+1)^2$

(3) $(a+2)(x-y)$

(4) $(x-4)^2$

(5) $(2x - 5y)(2x + 5y)$

(6) $(a+9)(a-2)$

(7) $(3x+2)(x+1)$

(8) $(3x-1)(x-2)$

(9) $(3x-1)(2x+1)$

(10) $(4x+3y)(3x-4y)$