関数 $y = x^3 + 3x^2 - 24x + 8$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + 3x^2 - 24x + 8$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. まず、与えられた関数を微分します。

$y' = 3x^2 + 6x - 24$

2. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 + 6x - 24 = 0$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

$(x+4)(x-2) = 0$

よって、$x = -4, 2$

3. $x = -4$ と $x = 2$ の前後で、$y'$ の符号が変化するかを調べます。

* $x < -4$ のとき、例えば $x = -5$ を代入すると、$y' = 3(-5)^2 + 6(-5) - 24 = 75 - 30 - 24 = 21 > 0$

* $-4 < x < 2$ のとき、例えば $x = 0$ を代入すると、$y' = 3(0)^2 + 6(0) - 24 = -24 < 0$

* $x > 2$ のとき、例えば $x = 3$ を代入すると、$y' = 3(3)^2 + 6(3) - 24 = 27 + 18 - 24 = 21 > 0$

したがって、$x = -4$ で極大、$x = 2$ で極小となります。

4. 極大値と極小値を計算します。

* $x = -4$ のとき、$y = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 24(-4) + 8 = -64 + 48 + 96 + 8 = 88$

* $x = 2$ のとき、$y = (2)^3 + 3(2)^2 - 24(2) + 8 = 8 + 12 - 48 + 8 = -20$

3. 最終的な答え

極大値：$x = -4$ のとき $y = 88$

極小値：$x = 2$ のとき $y = -20$