関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ の極値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数を微分します。$y = \frac{\log x}{x^2}$ に対して商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

ここで、$u = \log x$、$v = x^2$ とおくと、$u' = \frac{1}{x}$、$v' = 2x$ となります。

したがって、

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \log x \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x - 2x \log x}{x^4} = \frac{1 - 2 \log x}{x^3}$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1 - 2 \log x}{x^3} = 0$

$1 - 2 \log x = 0$

$2 \log x = 1$

$\log x = \frac{1}{2}$

$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

次に、$y'$ の符号の変化を調べます。

$x < \sqrt{e}$ のとき、$\log x < \frac{1}{2}$ より $1 - 2 \log x > 0$ となり、$y' > 0$ です。

$x > \sqrt{e}$ のとき、$\log x > \frac{1}{2}$ より $1 - 2 \log x < 0$ となり、$y' < 0$ です。

したがって、$x = \sqrt{e}$ で極大値をとり、極大値は

$y = \frac{\log \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{e} = \frac{1}{2e}$

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{e}$ のとき、極大値 $y = \frac{1}{2e}$ をとります。