$abcd = 2025$ を満たす正の整数の組 $(a, b, c, d)$ であって、$ab$, $bc$, $cd$, $da$ がいずれも平方数であるようなものはいくつあるか。

1. 問題の内容

$abcd = 2025$ を満たす正の整数の組 $(a, b, c, d)$ であって、$ab$, $bc$, $cd$, $da$ がいずれも平方数であるようなものはいくつあるか。

2. 解き方の手順

まず、$2025$ を素因数分解します。

$2025 = 3^4 \cdot 5^2$

$ab$, $bc$, $cd$, $da$ が平方数であるという条件から、

$a = 3^{a_1} 5^{a_2}$

$b = 3^{b_1} 5^{b_2}$

$c = 3^{c_1} 5^{c_2}$

$d = 3^{d_1} 5^{d_2}$

と表すと、$a_1 + b_1, b_1 + c_1, c_1 + d_1, d_1 + a_1$ が全て偶数である必要があり、$a_2 + b_2, b_2 + c_2, c_2 + d_2, d_2 + a_2$ が全て偶数である必要があります。

$a_1 + b_1$ が偶数なので、$a_1$ と $b_1$ は偶数か奇数かが一致します。

同様に、$b_1$ と $c_1$, $c_1$ と $d_1$, $d_1$ と $a_1$ は偶数か奇数かが一致します。

つまり、$a_1, b_1, c_1, d_1$ は全て偶数か、全て奇数となります。

$a_1 + b_1 + c_1 + d_1 = 4$ なので、$a_1, b_1, c_1, d_1$ は全て偶数の場合は、$0, 0, 2, 2$ の組み合わせであり、全て奇数の場合は$1, 1, 1, 1$と$3,1,0,0$の組み合わせのみになります。

$a_2 + b_2$ が偶数なので、$a_2$ と $b_2$ は偶数か奇数かが一致します。

同様に、$b_2$ と $c_2$, $c_2$ と $d_2$, $d_2$ と $a_2$ は偶数か奇数かが一致します。

つまり、$a_2, b_2, c_2, d_2$ は全て偶数か、全て奇数となります。

$a_2 + b_2 + c_2 + d_2 = 2$ なので、$a_2, b_2, c_2, d_2$ は全て偶数の場合は、$0, 0, 0, 2$, $0,0,1,1$の組み合わせであり、全て奇数の場合はありえません。

3の指数の組み合わせの場合：

1. 全て偶数: $(0, 0, 2, 2)$ を並び替える。${4 \choose 2} = 6$ 通り

2. 全て奇数: $(1, 1, 1, 1)$ は 1通り

3の指数の組み合わせの場合の数：6 + 1 = 7通り

5の指数の組み合わせの場合：

1. 全て偶数: $(0, 0, 0, 2)$ を並び替える。4通り

2. 全て偶数: $(0, 0, 1, 1)$ を並び替える。${4 \choose 2} = 6$ 通り

5の指数の組み合わせの場合の数：4 + 6 = 10通り

よって、全体の組み合わせは $7 \times 10 = 70$ 通り

3. 最終的な答え

70