1以上1000以下の整数の中で、2, 3, 4, 5, 6で割った余りが全て異なるようなものはいくつあるか。

1. 問題の内容

1以上1000以下の整数の中で、2, 3, 4, 5, 6で割った余りが全て異なるようなものはいくつあるか。

2. 解き方の手順

整数 $n$ が条件を満たすとする。

$n$ を2, 3, 4, 5, 6で割った余りはそれぞれ異なり、2で割った余りは0か1, 3で割った余りは0, 1, 2、4で割った余りは0, 1, 2, 3、5で割った余りは0, 1, 2, 3, 4、6で割った余りは0, 1, 2, 3, 4, 5である。

これらの余りは全て異なるので、$n$ を2, 3, 4, 5, 6で割った余りの組み合わせは、$2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$ 通りよりはるかに少ない。

$n$を2で割った余り: $r_2$

$n$を3で割った余り: $r_3$

$n$を4で割った余り: $r_4$

$n$を5で割った余り: $r_5$

$n$を6で割った余り: $r_6$

$n \equiv r_2 \pmod{2}$

$n \equiv r_3 \pmod{3}$

$n \equiv r_4 \pmod{4}$

$n \equiv r_5 \pmod{5}$

$n \equiv r_6 \pmod{6}$

$r_2, r_3, r_4, r_5, r_6$は全て異なる。

$n \equiv r_2 \pmod{2}$ かつ $n \equiv r_3 \pmod{3}$ かつ $n \equiv r_4 \pmod{4}$ かつ $n \equiv r_5 \pmod{5}$ かつ $n \equiv r_6 \pmod{6}$を満たす整数は、$LCM(2, 3, 4, 5, 6) = 60$ を法として一意に定まる。

$r_i$が全て異なるとき、条件を満たす$n$は

$n \equiv a \pmod{60}$

と表せる。

ここで、$LCM(2,3,4,5,6) = 60$である。

もし$n \equiv a \pmod{60}$なら、$n = 60k + a$ (kは整数)である。

このとき、$n \pmod{2} \equiv a \pmod{2}$, $n \pmod{3} \equiv a \pmod{3}$, $n \pmod{4} \equiv a \pmod{4}$, $n \pmod{5} \equiv a \pmod{5}$, $n \pmod{6} \equiv a \pmod{6}$.

$a, a+1, ..., a+59$を2, 3, 4, 5, 6で割った余りが全て異なるとき、$a$は特別である。

2,3,4,5,6の最小公倍数は60なので、60で割った余りが0,1,2,3,4,5の順列になるものだけが答えになる。

0,1,2,3,4,5の順列の個数は$6! = 720$個ある。しかし、全ての割り算で余りが異なる必要がある。

ある整数$n$が条件を満たす時、$n+60$も条件を満たす。

$n$を60で割った余りが$a$であるとすると、$a$は0から59のいずれか。

$a$を2,3,4,5,6で割った余りが全て異ならなければならない。

0から59までの整数のうち、2,3,4,5,6で割った余りが全て異なるものは存在しない。

したがって、条件を満たす整数は存在しない。

しかし、問題文を読み返すと、$2,3,4,5,6$で割った余りがどの2つも異なる、とある。

これは、全て異なるという条件より弱い。

整数 $n$ が存在すると仮定する。

$n \equiv r_2 \pmod{2}$

$n \equiv r_3 \pmod{3}$

$n \equiv r_4 \pmod{4}$

$n \equiv r_5 \pmod{5}$

$n \equiv r_6 \pmod{6}$

ここで、$r_i$ は全て異なるとは限らない。

例えば、$n = 1$ は $2, 3, 4, 5, 6$ で割った余りがそれぞれ $1, 1, 1, 1, 1$ である。

$n = 1$ の場合、どの2つの余りも異ならない。

$n$の個数は0である。

$LCM(2, 3, 4, 5, 6) = 60$.

$n, n+1, ..., n+59$.

3. 最終的な答え

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