与えられた問題は以下の通りです。 (1) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 60$ を計算したとき、末尾に0が連続して何個並ぶか。 (2) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 400$ を計算したとき、末尾に0が連続して何個並ぶか。 (3) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 270$ について、$N$ を素因数分解したとき、素因数3の個数を求めよ。 (4) 100! が $2^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求めよ。また、100! が $6^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

(1) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 60$ を計算したとき、末尾に0が連続して何個並ぶか。

(2) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 400$ を計算したとき、末尾に0が連続して何個並ぶか。

(3) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 270$ について、$N$ を素因数分解したとき、素因数3の個数を求めよ。

(4) 100! が $2^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求めよ。また、100! が $6^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 末尾に0が並ぶ個数は、10の倍数の個数、つまり素因数2と5のペアの個数に等しいです。$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 60$ の中に含まれる素因数5の個数を数えます。

60 ÷ 5 = 12

60 ÷ 25 = 2 (余り10)

したがって、素因数5の個数は12 + 2 = 14個です。

一方、素因数2の個数は明らかに14個より多いので、末尾に0が14個並びます。

(2) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 400$ の中に含まれる素因数5の個数を数えます。

400 ÷ 5 = 80

400 ÷ 25 = 16

400 ÷ 125 = 3 (余り25)

したがって、素因数5の個数は80 + 16 + 3 = 99個です。

一方、素因数2の個数は明らかに99個より多いので、末尾に0が99個並びます。

(3) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 270$ の中に含まれる素因数3の個数を数えます。

270 ÷ 3 = 90

270 ÷ 9 = 30

270 ÷ 27 = 10

270 ÷ 81 = 3 (余り27)

270 ÷ 243 = 1 (余り27)

したがって、素因数3の個数は90 + 30 + 10 + 3 + 1 = 134個です。

(4) 100! が $2^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求めます。

100 ÷ 2 = 50

100 ÷ 4 = 25

100 ÷ 8 = 12 (余り4)

100 ÷ 16 = 6 (余り4)

100 ÷ 32 = 3 (余り4)

100 ÷ 64 = 1 (余り36)

したがって、素因数2の個数は50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97個です。

よって、 $n = 97$ となります。

次に、100! が $6^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求めます。

$6 = 2 \cdot 3$ であるので、100! の素因数2と素因数3の個数のうち、小さい方が $n$ となります。

素因数2の個数は97個です。

100 ÷ 3 = 33 (余り1)

100 ÷ 9 = 11 (余り1)

100 ÷ 27 = 3 (余り19)

100 ÷ 81 = 1 (余り19)

したがって、素因数3の個数は33 + 11 + 3 + 1 = 48個です。

素因数2は97個、素因数3は48個なので、$n = 48$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 14個

(2) 99個

(3) 134個

(4) $2^n$ のとき $n = 97$ 、 $6^n$ のとき $n = 48$