(1) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 60$ を計算したとき、末尾に0が連続して何個並ぶか。 (2) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 400$ を計算したとき、末尾に0が連続して何個並ぶか。 (3) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 270$ について、$N$ を素因数分解したとき、素因数3の個数を求めよ。 (4) $100!$ が $2^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求めよ。また、$100!$ が $6^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 60$ を計算したとき、末尾に0が連続して何個並ぶか。

(2) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 400$ を計算したとき、末尾に0が連続して何個並ぶか。

(3) $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 270$ について、$N$ を素因数分解したとき、素因数3の個数を求めよ。

(4) $100!$ が $2^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求めよ。また、$100!$ が $6^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 末尾に0が並ぶ個数は、素因数2と5のペアの数で決まる。階乗の計算では素因数5の個数が素因数2の個数より少ないので、素因数5の個数を数えればよい。

$60$ までの整数のうち、5の倍数は $\left\lfloor \frac{60}{5} \right\rfloor = 12$ 個、25の倍数は $\left\lfloor \frac{60}{25} \right\rfloor = 2$ 個ある。

したがって、素因数5の個数は $12 + 2 = 14$ 個。

(2) 同様に、400までの整数のうち、5の倍数は $\left\lfloor \frac{400}{5} \right\rfloor = 80$ 個、25の倍数は $\left\lfloor \frac{400}{25} \right\rfloor = 16$ 個、125の倍数は $\left\lfloor \frac{400}{125} \right\rfloor = 3$ 個、625の倍数は $\left\lfloor \frac{400}{625} \right\rfloor = 0$ 個ある。

したがって、素因数5の個数は $80 + 16 + 3 + 0 = 99$ 個。

(3) 270までの整数のうち、3の倍数は $\left\lfloor \frac{270}{3} \right\rfloor = 90$ 個、9の倍数は $\left\lfloor \frac{270}{9} \right\rfloor = 30$ 個、27の倍数は $\left\lfloor \frac{270}{27} \right\rfloor = 10$ 個、81の倍数は $\left\lfloor \frac{270}{81} \right\rfloor = 3$ 個、243の倍数は $\left\lfloor \frac{270}{243} \right\rfloor = 1$ 個ある。

したがって、素因数3の個数は $90 + 30 + 10 + 3 + 1 = 134$ 個。

(4) $100!$ が $2^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求める。

100までの整数のうち、2の倍数は $\left\lfloor \frac{100}{2} \right\rfloor = 50$ 個、4の倍数は $\left\lfloor \frac{100}{4} \right\rfloor = 25$ 個、8の倍数は $\left\lfloor \frac{100}{8} \right\rfloor = 12$ 個、16の倍数は $\left\lfloor \frac{100}{16} \right\rfloor = 6$ 個、32の倍数は $\left\lfloor \frac{100}{32} \right\rfloor = 3$ 個、64の倍数は $\left\lfloor \frac{100}{64} \right\rfloor = 1$ 個ある。

したがって、素因数2の個数は $50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$ 個。

よって、$n = 97$。

$100!$ が $6^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求める。$6 = 2 \cdot 3$ なので、素因数2と3の個数を調べる必要がある。先ほど求めたように、素因数2の個数は97個である。

100までの整数のうち、3の倍数は $\left\lfloor \frac{100}{3} \right\rfloor = 33$ 個、9の倍数は $\left\lfloor \frac{100}{9} \right\rfloor = 11$ 個、27の倍数は $\left\lfloor \frac{100}{27} \right\rfloor = 3$ 個、81の倍数は $\left\lfloor \frac{100}{81} \right\rfloor = 1$ 個ある。

したがって、素因数3の個数は $33 + 11 + 3 + 1 = 48$ 個。

$6^n = 2^n \cdot 3^n$ なので、$n$ は素因数2と3の個数のうち、少ない方の個数になる。

よって、$n = \min(97, 48) = 48$。

3. 最終的な答え

(1) 14個

(2) 99個

(3) 134個

(4) $2^n$ の場合: $n = 97$

$6^n$ の場合: $n = 48$