(1) 自然数 $n$ に対して、$\frac{n}{20}$ と $\frac{n}{42}$ がともに自然数となるような最小の $n$ を求める。 (2) $\frac{65}{42}$ と $\frac{52}{63}$ のいずれに掛けても積が自然数となる分数のうち、最小のものを求める。 (3) 700以下の自然数のうち、700と互いに素である自然数の個数を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 自然数 $n$ に対して、$\frac{n}{20}$ と $\frac{n}{42}$ がともに自然数となるような最小の $n$ を求める。

(2) $\frac{65}{42}$ と $\frac{52}{63}$ のいずれに掛けても積が自然数となる分数のうち、最小のものを求める。

(3) 700以下の自然数のうち、700と互いに素である自然数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{n}{20}$ と $\frac{n}{42}$ がともに自然数となるためには、$n$ は20と42の公倍数である必要があります。最小の $n$ を求めるので、20と42の最小公倍数を計算します。

$20 = 2^2 \cdot 5$

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

最小公倍数 LCM(20, 42) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$

したがって、$n = 420$

(2) 求める分数を $\frac{p}{q}$ とします。$\frac{65}{42} \cdot \frac{p}{q}$ と $\frac{52}{63} \cdot \frac{p}{q}$ がともに自然数になるためには、$p$ は42と63の公倍数であり、$q$ は65と52の公約数である必要があります。最小の分数を求めるためには、$p$ は42と63の最小公倍数であり、$q$ は65と52の最大公約数である必要があります。

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

$63 = 3^2 \cdot 7$

LCM(42, 63) = $2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$

$65 = 5 \cdot 13$

$52 = 2^2 \cdot 13$

GCD(65, 52) = 13

したがって、求める分数は $\frac{126}{13}$

(3) 700と互いに素な自然数の個数を求めるためには、オイラーのトーシェント関数 $\phi(700)$ を計算します。

$700 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$

$\phi(700) = 700 \cdot (1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{5}) \cdot (1 - \frac{1}{7})$

$= 700 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7}$

$= 700 \cdot \frac{24}{70}$

$= 10 \cdot 24 = 240$

したがって、700以下の自然数のうち、700と互いに素である自然数の個数は240個です。

3. 最終的な答え

(1) $n = 420$

(2) $\frac{126}{13}$

(3) 240