$\mathbb{R}^3$ のベクトルで、$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の両方と直交し、ノルムが1のベクトルを求める。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$ のベクトルで、$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の両方と直交し、ノルムが1のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

求めるベクトルを $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ とおく。

このベクトルが $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ および $\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ と直交するということは、内積がそれぞれ0になるということである。したがって、次の2つの式が得られる。

$x + y - z = 0$

$2x - 2y + z = 0$

これらの式から $z$ を消去すると、

$(x + y) + (2x - 2y) = 0$ となり、$3x - y = 0$ すなわち $y = 3x$ が得られる。

これを最初の式に代入すると、$x + 3x - z = 0$ となり、$z = 4x$ が得られる。

したがって、求めるベクトルは $\begin{bmatrix} x \\ 3x \\ 4x \end{bmatrix}$ の形をしている。

次に、このベクトルのノルムが1であるという条件から、$x$ の値を決定する。

ベクトルのノルムは $\sqrt{x^2 + (3x)^2 + (4x)^2} = \sqrt{x^2 + 9x^2 + 16x^2} = \sqrt{26x^2} = |x|\sqrt{26}$ となる。

これが1に等しいので、$|x|\sqrt{26} = 1$ より、$|x| = \frac{1}{\sqrt{26}}$。

よって、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}$。

したがって、求めるベクトルは $\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{26}} \\ \frac{3}{\sqrt{26}} \\ \frac{4}{\sqrt{26}} \end{bmatrix}$ または $\begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{26}} \\ -\frac{3}{\sqrt{26}} \\ -\frac{4}{\sqrt{26}} \end{bmatrix}$。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{26}} \\ \frac{3}{\sqrt{26}} \\ \frac{4}{\sqrt{26}} \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{26}} \\ -\frac{3}{\sqrt{26}} \\ -\frac{4}{\sqrt{26}} \end{bmatrix}$