$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+5x-1}-x)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+5x-1}-x)$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、式に共役な式を掛けます。つまり、$\sqrt{x^2+5x-1}+x$ を分子と分母に掛けます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+5x-1}-x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+5x-1}-x)(\sqrt{x^2+5x-1}+x)}{\sqrt{x^2+5x-1}+x}$

分子を展開すると次のようになります。

$(\sqrt{x^2+5x-1}-x)(\sqrt{x^2+5x-1}+x) = (x^2+5x-1) - x^2 = 5x-1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{5x-1}{\sqrt{x^2+5x-1}+x}$

次に、分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+5x-1}}{x}+\frac{x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5-\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^2+5x-1}{x^2}}+1}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{5-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^2}}+1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ となります。したがって、

$\frac{5-0}{\sqrt{1+0-0}+1} = \frac{5}{\sqrt{1}+1} = \frac{5}{1+1} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$