$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母に $1 + \cos x$ を掛けます。

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\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x(1 + \cos x)}

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次に、分子を整理します。

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\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)}

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$\sin^2 x$ を $\sin x \cdot \sin x$ に分解します。

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\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}

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$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることと、$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ であることを利用します。

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\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1 \cdot \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = 1 \cdot \frac{0}{1 + 1} = 1 \cdot \frac{0}{2} = 0

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3. 最終的な答え

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